Która liczba jest większa? Mnóstwo osób poddaje się na tej zagadce, ale jest na nią prosty trik
Nie da się ukryć, że większość krążących po sieci zagadek matematycznych jest banalnie prosta lub wymaga chwili zastanowienia. Nie oto jednak w tym chodzi - przede wszystkim powstają dla zabawy i rozruszania szarych komórek po czytaniu o dramach celebrytów.
Która liczba jest większa? Ta zagadka jest dla matematycznych wyjadaczy
To zadanie jest jednak dla hardcore'ów, którzy z przyjemnością zaglądali do zadań z gwiazdką w ćwiczeniówce. Na pierwszy rzut oka wygląda prosto, ale jak zwykle diabeł tkwi w szczegółach. Możemy bowiem zgadywać, ale weź to później wytłumacz...
Zwykle kalkulatory mogą się zawiesić, bo obie liczby podniesione do takich potęg mają kilkadziesiąt miejsc po przecinku. Wyniku nie trzeba jednak wypisywać w całości (aczkolwiek nikt nikomu nie broni, powodzenia!), ale obejść to sposobem.
W poniższym filmiku znajdziecie bardzo rozbudowane rozwiązanie - w dodtku rozpisane ręcznie. Pomimo wysokiego stopnia trudności, zostało to wyświetlone ponad 710 tys razy na YouTube! Czy da się prościej?
Można to rozwiązać to też na logikę lub przy użyciu... logarytmów
Jeżeli intuicja podpowiada wam, że większa jest ta druga liczba (49^51) - to macie albo szósty zmysł, albo domyślacie się, że 51 powinno być "potężniejsze" niż 50. Nawet w komentarzu pod filmikiem ktoś napisał, że wystarczy wiedzieć, "jak działają liczby".
I pokazał przykład: 11^2 to 112 i 10^3 to 1000. Różnica jest kolosalna, a wykładnik potęgi różni się przecież tylko o 1. W przypadku podstawy jest inaczej, bo dopiero 32^2 jest większe (1024) niż 10^3. Czysta magia matematyki.
Jak jednak udowodnić to inaczej niż na chłopski rozum? Można to zrobić tak, jak na filmiku wyżej, ale też szybciej. Jeden z internautów zamienił liczby na "iksy" i dostał coś takiego:
"x^x vs (x-1)^(x+1) przekształcamy w 1/(x-1) vs (1-1/x)^x, zatem lewa strona to 0<1/(x-1) < 1/4 dla x>5, a prawa strona to 1/4 < (1-1/x)^x < e dla x>2, stąd dla każdego x> 5 prawa strona będzie zawsze większa. Gotowe". Jest jeszcze inne rozwiązanie, ale niestety nie obejdzie się bez kalkulatora naukowego. Kilku internatów uprościło obie strony, korzystając z logarytmów, do 50 log(50) i 51 log(49). Wtedy po lewej otrzymujemy niecałe 85, a po prawej nieco ponad 86. Mówimy jednak o skali logarytmicznej, więc ta różnica też jest kolosalna.
Nawet jeśli na olimpiadzie matematycznej nie można wejść z kalkulatorem, to można dopisać, że logarytmy 50 i 49 będą niemalże takie same, bo mają takie właściwości ("log oparty na dużej podstawie mocno spłaszcza zmiany" – jak ujął to komentujący), dlatego pozostaje nam porównywać tylko 50 i 51 (czyli potęgi). Może komisja by to zaliczyła.